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Indicatori di posizione
Il ricercatore è interessato allo studio di fenomeni che variano. Proprio questa variabilità consente di stabilire dei nessi e di formulare ipotesi.
A tal fine, è necessario identificare i parametri che sono capaci di riassumere la variabilità dei dati grezzi e descrivere l’oggetto di ricerca.
I due parametri fondamentali che consentono di sintetizzare i dati sono:
- INDICATORE DI TENDENZA CENTRALE -> valore che rappresenta un insieme di dati grezzi.
- INDICATORE DI DISPERSIONE -> valore che specifica la variabilità di un insieme di dati grezzi.
Nel caso di dati qualitativi misurati su scala nominale o ordinale si ha la possibilità di stimare solamente l’indicatore di tendenza centrale (i.e., MODA e MEDIANA).
NON vi è la possibilità di ottenere un indicatore capace di riassumere efficacemente la variabilità dei dati.
Per i dati qualitativi rilevati su scala NOMINALE, il cui unico indice di tendenza centrale è la MODA, non si ha possibilità di quantificare la dispersione perché i dati non variano. Infatti i numeri sono semplici etichette per identificare una categoria, non rappresentano valori in senso stretto.
Anche nel caso di dati qualitativi misurati su scala ORDINALE non si può parlare di valori nel senso proprio del termine. Anche in questo caso i numeri sono etichette che identificano delle categorie ordinate (NON indicano una quantità).
Per quanto riguarda la dispersione si può, nel caso di dati su scala ORDINALE, usare un parametro solamente descrittivo, capace di indicare la posizione che un «valore» occupa all’interno di una distribuzione di frequenza.
Tale parametro è definito INDICATORE DI POSIZIONE.
L’indicatore di tendenza centrale più efficace per riassumere dati su scala ORDINALE è la MEDIANA.
La MEDIANA altro non è che l’indicatore di posizione più rappresentativo dei dati su scala ORDINALE, poiché permette di dividere in due parti uguali la distribuzione.
Accanto alla Me, esistono altri indicatori di posizione, calcolati in maniera analoga, che possono fornire un’idea della variabilità dei dati, ma NON possono rappresentarla sinteticamente.
Per conoscere la posizione che un valore di una variabile occupa all’interno di una distribuzione di frequenza si utilizzano i QUANTILI che si dividono in
- Quartili
- Decili
- Percentili
Questi indici richiedono che la variabile sia misurata ALMENO su una scala ordinale (può essere superiore) poiché necessitano di una distribuzione ordinata di frequenza.
Quartili
I quartili sono i valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre:
- 1° quartile Q1 (o inferiore): valore al di sotto del quale ricade il 25% dei casi.
- 2° quartile Q2 (o mediano): valore al di sotto del quale ricade il 50% dei casi.
- 3° quartile Q3 (o superiore): valore al di sotto del quale ricade il 75% dei casi.
Come si rintracciano?
- Si ordinano in senso crescente le modalità o i valori della variabile.
- Si calcolano le frequenze cumulate.
- Si calcola la posizione del quartile con le apposite formule.
- Si cerca nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata.
Le formule per il calcolo della posizione sono le seguenti
Nota bene: Il secondo quartile Q2 corrisponde alla Mediana. La Mediana è un indice di tendenza centrale e di posizione.
Proviamo a fare un esempio. Supponiamo di avere le risposte di N = 15 (numero di casi dispari) partecipanti ad una domanda riguardante quanto spesso vai al cinema (ordinate rispecchiando una scala di risposta a 7 punti):
- 7 = più volte a settimana
- 1 = mai
- 2 = una volta all’anno
- 3 = più volte all’anno
- 4 = una volta al mese
- 5 = più volte al mese
- 6 = una volta a settimana
Abbiamo i seguenti quartili
- Il primo quartile è 6 «una volta a settimana» (occupa la 4° posizione nella distribuzione).
- Il secondo quartile è 4 «una volta al mese» (occupa la 8° posizione nella distribuzione).
- Il terzo quartile è 2 «una volta all’anno» (occupa la 12° posizione nella distribuzione).
Decili
I decili, in maniera analoga ai quartili, sono i valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in dieci parti eguali. I decili sono nove
- 1° decile D₁: valore sotto il quale ricade il 10% dei casi
- 2° decile D₂: valore sotto il quale ricade il 20% dei casi
- eccetera ….
- 9° decile D₉: valore sotto il quale ricade il 90% dei casi
COME SI RINTRACCIANO:
- Si ordinano in senso crescente le modalità o i valori della variabile
- Si calcolano le frequenze cumulate
- Si calcola la posizione del decile con le apposite formule
- Si cerca nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata
Proviamo a fare un esempio più concreto:
Abiamo 11 bambini di 36 mesi che hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi: 25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58
Trovare il 3° e l’ 8° decile…
Per ottenere i valori associati ai decili si procede così
- Si moltiplica la differenza tra i due valori 34 e 38 per la quantità che eccede dalla 3° posizione: 3.6 – 3 = 0.6 → (38-34) x 0.6 = 2.4
- Si somma questa quantità al valore corrispondente alla 3° posizione: 34 + 2.4 = 36.4 terzo decile
- Si moltiplica la differenza tra i due valori 58 e 54 per la quantità che eccede dalla 9ª posizione: 9.6 – 9 = 0.6 → (58-54) x 0.6 = 2.4.
- Si somma questa quantità al valore corrispondente alla 9ª posizione: 54 + 2.4 = 56.4 Ottavo decile
Centili
Sono i valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in cento parti eguali. I centili sono novantanove
- 15° centile C₁₅: valore sotto il quale ricade il 15% dei casi
- 45° centile C₄₅: valore sotto il quale ricade il 45% dei casi
- 99° centile C₉₉: valore sotto il quale ricade il 99% dei casi
COME SI RINTRACCIANO:
- Si ordinano in senso crescente le modalità o i valori della variabile
- Si calcolano le frequenze cumulate
- Si calcola la posizione del centile con le apposite formule
- Si cerca nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata
Proviamo a fare un esempio più concreto: abbiamo 11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi: 25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58. Trovare il 28° e l’ 82° centile…
Si procede come prima:
- Si moltiplica la differenza tra i due valori 34 e 38 per la quantità che eccede dalla 3° posizione: 3.4 – 3 = 0.4 → (38-34) x 0.4 = 1.6
Si somma questa quantità al valore corrispondente alla 3° posizione: 34 + 1.6 = 35.6 che è il valore del VENTOTTESIMO CENTILE - Si moltiplica la differenza tra i due valori 58 e 54 per la quantità che eccede dalla 9° posizione: 9.9 – 9 = 0.9 → (58-54) x 0.9 = 3.6
Si somma questa quantità al valore corrispondente alla 9ª posizione: 54 + 3.6 = 57.6 valore del OTTANTADUESIMO CENTILE
Ogiva
L’ogiva è la rappresentazione grafica per il calcolo di quartili, decili e centili. L’ogiva è la rappresentazione grafica delle frequenze cumulate
Sull’ASSE delle ASCISSE si riportano i VALORI assunti da una VARIABILE.
Sull’ASSE delle ORDINATE si riportano le FREQUENZE CUMULATE.
Esempio: Poniamo il caso di aver misurato i punteggi ottenuti su un test di abilità verbali di 26 bambini di un asilo nido. Abbiamo la seguente rappresentazione.
Se volessi ottenere una raprpesentazione grafica per il calcolo dei quartili, decili e centili posso tracciare un segmento parallelo all’asse delle ordinate e lo divido per 4, 10, 100.
Otteniamo i punti dell’asse che corrispondono rispettivamente ai quartili, decili, centili.
Si noti accanto alla curca le righe verticali parelle alla ascissa delle ordinate, e la divisione di queste in 4, 10, e 100 (righe verticali colorate in giallo, rosso, blue). Tracciando una linea orizzontale che parte da queste rette e che tocca il grafico ottengo il valore corrispondente