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Probabilità
Dati due eventi (evento A e evento B), possono verificarsi:
- l’uno o l’altro (A ∪ B)
- entrambi:(A ∩ B)
A e B si dicono mutuamente escludentisi (o incompatibili) se A ∪ B = 0
Se A e B sono mutuamente escludentisi allora:
- non possono verificarsi contemporaneamente
- non hanno elementi in comune
Esempio eventi escludentisi:
- Nel lancio di un dado: l’evento “numero pari” e l’evento “numero dispari” sono escludentisi
- Nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40: l’evento “carta di cuori” e l’evento “carta di fiori” sono escludentisi
A e B sono non mutuamente escludentisi (o compatibili) se:A ∩ B ≠ ∅
Se A e B sono non mutuamente escludentisi:
- possono verificarsi contemporaneamente (il verificarsi dell’uno NON esclude il verificarsi dell’altro)
- hanno elementi in comune
Esempio eventi non mutuamente escludentisi:
- Nel lancio di un dado: l’evento “numero pari” e l’evento “numero maggiore o uguale a 4”.
- Nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40: l’evento “carta di fiori” e l’evento “figura”
La probabilità di A ∪ B (verificarsi disgiunto di A e B) deve essere calcolata stabilendo se gli eventi sono mutuamente escudentisi oppure non mutuamente escudentisi
Principio della somma
Dati due eventi A e B mutuamente escludentisi, la probabilità del verificarsi del due eventi è uguale alla somma delle probabilità del verificarsi dei singoli eventi:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Esempio 1: Lanciando un dado
Quale è la probabilità che si ottenga 6 oppure 2? Gli eventi “6” e “2” sono mutuamente escludentisi (il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro)
p(2 ∪ 6) = p(2) + p(6) = 1/6 + 1/6 = 1/3 ≈ 0.33
Esempio 2
Quale è la probabilità di estrarre a caso un re di fiori oppure un fante di cuori da un mazzo di carte di 40? Gli eventi “R♠” e “F♡” sono mutuamente escludentisi (il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro)
p(R ∪ F) = p(R) + p(F) = 1/40 + 1/40 = 1/20 = 0.05
Dati tre eventi A, B e C mutuamente escludentisi abbiamo che:
p(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p(C)
Dati k eventi mutuamente escludentisi:
p(A ∪ B ∪ … ∪ K) = p(A) + p(B) + … + p(K)
Esempio calcolo per eventi non mutamente escludentisi
Lanciando un dado, quale è la probabilità che si ottenga un numero minore di 3 oppure un numero dispari? Gli eventi “3” e “dispari” NON sono mutuamente escludentisi
Quindi abbiamo
La probabilità di “1” viene conteggiata due volte, una si toglie
Eventi dipendenti o indipendenti
Dati due eventi (evento A e evento B), può accadere che l’uno NON influenza il verificarsi dell’altro, oppure che l’uno influenza il verificarsi dell’altro.
A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di A NON influisce sul verificarsi di B. Questo comporta che sapere che A si è verificato non dà informazioni sul verificarsi di B (A non modifica il verificarsi di B).
ESEMPIO
Due estrazioni di una carta da un mazzo RIMETTENDO la 1° carta estratta nel mazzo:
Evento “A = 1° estrazione” e evento “B = 2° estrazione” sono indipendenti, ovvero il risultato ottenuto con la 1° estrazione NON modifica la probabilità associata al risultato della seconda.
A e B si dicono dipendenti se il verificarsi di A influisce sul verificarsi di B. Sapere che A si è verificato dà informazioni sul verificarsi di B (o modifica il verificarsi di B)
Esempio
Due estrazioni di una carta da un mazzo SENZA RI METTERE la 1° carta estratta nel mazzo:
Evento “A = 1° estrazione” e evento “B = 2° estrazione” sono dipendenti
il risultato ottenuto con la 1° estrazione modifica la probabilità associata al risultato della seconda.
Esempio estrazione carta
Dato un mazzo di carte da 40 sia evento “A = un asso alla 1° estrazione”; “evento B = un asso alla 2° estrazione”:
- Determinare la probabilità di A e B nel caso in cui vi sia reinserimento
- Determinare la probabilità di A e B nel caso in cui non vi sia reinserimento
SOLUZIONE ESTRAZIONE CON REINSERIMENTO
Reinserendo la carta della 1° estrazione, non si modifica lo spazio campionario (=40 in entrambe le estrazioni) e il numero degli eventi favorevoli (sempre 4). Il verificarsi o non verificarsi di A non modifica la probabilità di B:
- p(A) = 4/40, sia che si sia stato estratto un asso o non stato estratto un asso
- p(B) = 4/40
SOLUZIONE ESTRAZIONE SENZA REINSERIMENTO
Non reinserendo la carta della 1° estrazione, si modifica lo spazio campionario (=40 nella prima estrazione, 39 nella seconda) e nel caso in cui A si verifica, si modifica anche il numero degli eventi favorevoli (=4 nella 1°, e 3 nella 2° estrazione).
Il verificarsi o non verificarsi di A modifica la probabilità di B:
- p(A) = 4/40, se non è stato estratto un asso → p(B) = 4/39
- p(A) = 4/40, se è stato estratto un asso → p(B) = 3/39
Principio del prodotto (o delle probabilità composte)
Dati due eventi A e B indipendenti, la probabilità del verificarsi simultaneo o in successione dei due eventi è data:
p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
Esempio
ESEMPIO 1: Lanciando due volte un dado (o due dadi), quale è la probabilità che si ottenga 2 come somma dei risultati?
L’evento “somma=2” è dato dal verificarsi congiunto di 1 col 1° lancio, e 1 col 2°, dove i due lanci sono indipendenti
p(1 ∩ 1) = p(1) × p(1) = 1/6 × 1/6 = 1/36 = 0.027
Esempio
ESEMPIO 2:
Quale è la probabilità di estrarre due re da un mazzo di carte da 40, reinserendo la carta estratta? I due eventi sono indipendenti (il realizzarsi dell’uno non influisce sul verificarsi dell’altro)
p(R₁ ∩ R₂) = p(R₁) × p(R₂) = 4/40 × 4/40 = 16/1600 = 1/100 = 0.01
Dati tre eventi A, B e C indipendenti abbiamo che :
p(A ∩ B ∩ C) = p(A) × p(B) × p(C)
E in generale dati k eventi indipendenti:
p(A ∩ B ∩ … ∩ K) = p(A) × p(B) × … × p(K)
Dati due eventi A e B dipendenti, la probabilità del verificarsi in successione dei due eventi è data da:
p(A ∩ B) = p(A) × p(B/A)
Dove p(B/A) = probabilità di B posto che A si è verificato
Esempio
ESEMPIO 1: Quale è la probabilità di estrarre in sequenza un re e un asso da un mazzo da 40 senza reinserire la carta estratta? I due eventi sono dipendenti (il realizzarsi del 1° evento influisce sul verificarsi del 2° modificando solo lo spazio campionario)
p(R ∩ A) = p(R) × p(A/R) = 4/40 × 4/39 = 16/1560 ≈ 0.01
Esempio
ESEMPIO 2: Quale è la probabilità di estrarre due re da un mazzo di carte da 40 senza reinserire la carta estratta? Il realizzarsi del 1° evento influisce sul verificarsi del 2° modificando lo spazio campionario e il n° degli eventi favorevoli
p(R₁ ∩ R₂) = p(R₁) × p(R₂/R₁) = 4/40 × 3/39 = 12/1560 = 1/130 ≈ 0.008