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Introduzione – statistica inferenziale
La SATISTICA INFERENZIALE ci permette di andare a fare alcune inferenze partendo da dati rilevati su un campione arrivando poi alla popolazione.
Il campione è un sottoinsieme della popolazione di cui conosciamo determinate caratteristiche. Le caratteristiche della popolazione non sono conosciute ma possono essere ricavate dallo studio del campione.
Attraverso la statistica inferienziale possiamo fare riferimento a due principi
- VERIFICA DELL’IPOTESI: si intende la verifica, in termini probabilistici, se una certa affermazione relativa alla popolazione è da ritenersi vera sulla base dei dati ottenuti sul campione. Per fare ciò posso procedere così
- Estraggo un campione in modo casuale
- vado a fare delle operazioni statistiche che confermano o meno le mie ipotesi di ricerca
- Con la STATISTICA INFERENZIALE definisco, in termini probabilistici, la validità della mia ipotesi sulla popolazione a partire dalle statistiche del campione
- STIMA DEI PARAMETRI: si stabilisce, in termini probabilistici, il valore numerico di uno o più parametri incogniti della popolazione a partire dai dati campionari. Per fare ciò posso procedere così
- Estraggo un campione in modo casuale
- misuro la caratteristica/parametro sul campione
- con la STATISTICA INFERENZIALE definisco, in termini probabilistici, il parametro della popolazione a partire dalla statistica del campione
Probabilità
Il calcolo delle probabilità ci fornisce le regole per associare ad ogni possibile evento/risultato di un esperimento aleatorio un valore numerico che ne indichi il grado di avverabilità. Tale valore viene chiamato probabilità dell’evento.
Spazio campionario
Un concetto chiave nella probabilità è quello di spazio campionario (S). Questo è l’insieme degli eventi possibili (o dei possibili risultati) di un esperimento casuale, aleatorio.
Nel lancio di una moneta lo spazio campionario è costituito da due possibili eventi/risultati: testa o croce. Nel lancio di un dato sono le 6 facce del dado.
Evento
L’evento all’interno dello spaizo campionario è quello di cui spesso siamo interessati ad andare a calcolare la probabilità che si verifichi. Quindi l’evento che siamo interessati ad andare a studiare è un sottoinsieme dello spazio campionario.
L’evento può essere
- semplice: dato da un solo evento
- composto: dato da più eventi semplici
Esempio nel lancio di un dado:
- il risultato “5” è un evento semplice;
- il risultato “numero pari” è un evento composto da tre eventi semplici: 2,4,6.
In probabilità abbiamo che
- Il verificarsi di un evento A (semplice o composto) lo andremo a chiamare SUCCESSO -> p(A)
- Il non verificarsi di un evento A (semplice o composto) lo chiameremo INSUCCESSO -> q(A)
Dato uno spazio campionario e un evento A entro tale spazio la probabilità associata ad esso è sempre compresa tra 0 e 1
0 < p(A) < 1
Quindi se:
- Se p(A) = 0 → A = evento impossibile
- Se p(A) = 1 → A = evento certo
Lo spazio campionario (S) può essere considerato un evento costituito da tutti gli eventi possibili. Quindi S è l’evento certo → p(S) = 1
La somma di tutte le singole probabilità associate a ciascun evento possibile è 1. Ne consegue che:
- p(A) + p(non A) = 1
- p(non A) = 1 – p(A) = q(A)
Probabilità a priori
(Probabilità a priori) Se un evento si può verificare in f modi diversi su n modi possibili, essendo questi tutti ugualmente possibili (equiprobabili) la probabilità di questo evento è f/n.
Quindi la probabilità di un evento (A) è data dal rapporto tra il numero degli eventi favorevoli (o successi) (f) e il numero degli eventi ugualmente possibili (n)
La probabilità di insuccesso di un evento è la differenza tra 1 e la probabilità di successo p(A). È indicata con q(A).
ESEMPIO (lancio moneta):
Voglio conoscere la probabilità che esca croce p(A), sapendo che
- S (spazio campionario) = 2 eventi possibili (Testa o croce);
- A = Croce
- non A = Testa
La probabilità può essere espressa come una proporzione (sotto forma di frazione o numero decimale compreso tra 0 e 1). Inoltre può essere espressa anche in termini percentuali
p * 100
(se, per esempio, p = .45 possiamo dire che la probabilità è del 45%)
Probabilità a posteriori o empirica
(Probabilità a priori e empirica) La probabilità di un evento (A) è uguale alla frequenza (f) del successo in (n) numero di prove ripetute nelle medesime condizioni (con n sufficientemente grande).
Se dopo aver ripetuto un esperimento casuale (aleatorio) un numero n elevato di volte, e l’evento A si verifica f volte, allora la probabilità è data dal limite cui tende il rapporto tra successi e prove
ESEMPIO (lancio moneta)
Vogliamo stimare la probabilità di croce
Aumentando il numero di lanci la probabilità che si verifichi testa si avvicina a 0.5.
Nel grafico la rappresentazione grafica di ottenere croce
ESEMPIO: Lancio DADO (esperimento casuale):
Lo spazio campionario S = 1,2,3,4,5,6 (6 eventi possibili). Allora abbiamo che:
Esempio: lancio del dado (evento composto)
L’evento che vogliamo calcolare è A = NUMERO pari (3 eventi possibili). L’evento non A è quindi = numeri dispari (3 eenti possibili). Da cui abbiamo:
ESEMPIO: Estrazione CARTA (mazzo da 40):
Lo spazio campionario è S = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,fante,regina,re (40 eventi possibili). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi l’evento A = Asso di cuori. Allora abbiamo che
Se invece consideriamo un evento composto
A = carta di cuori (10 eventi possibili)
Su S = 40 abbiamo che
