18 Verifica delle ipotesi – il caso di un campione (2) – Ipotesi sulla media: Test z e Test t

Table of Contents

• Introduzione
• Verifica delle ipotesi: il caso di un campione
  • Esempio
  • Esempio
  • Esempio

Introduzione

Abbiamo visto che per VERIFICARE UN’IPOTESI SULLA POPOLAZIONE occorre in ordine

• Scelta del test statistico
• Definizione dell’ipotesi
• Fissare il livello di significatività
• Associare una probabilità ad H₀
• Prendere una decisione su H₀ (⇒H₁)

Verifica delle ipotesi: il caso di un campione

Nel caso di un campione

• con una numerosità campionaria n > 30,
• e conosciamo la media e la deviazione standard (μ e σ NOTI) della popolazione,
• e abbiamo una variabile metrica misurata su scala a intervalli o a rapporti di cui l’indicatore di tendenza centrale è la media

possiamo fare riferimento alla distribuzione campionaria delle medie. Con la distribuzione campionaria delle medie possiamo verificare la nostra ipotesi tramite la distribuzione di probabilità normale

Quindi possiamo procedere nel seguente modo

1. Scelta del test statistico (di significatività): Si calcola z facendo riferimento alla dCM (distribuzione campionaria della media)
2. Definizione dell’ipotesi: Il confronto lo facciamo con i parametri della popolazione di riferimento
   • H₀: μₘ = μ (media campione = media popolazione)
   • H₁: μₘ ≠ μ (bidirezionale)
   • μₘ > μ oppure μₘ < μ (monodirezionale)
3. Fissare il livello di significatività α: quindi delineare la regione di rifiuto secondo α e H₁ (monodirezionale o bidirezionale) trovando uno z_critico sulla Tavola
4. Associare una probabilità ad H₀: Si associa una probabilità ad H₀ standardizzando la media in oggetto

5. Decisione su H₀ (⇒ H₁): Per prendere una decisione su H0 facciamo un confronto tra z (stimato nel punto 4) e z_critico (fornito dalle tavole)

• se | z | < | z_critico| ⇒ p > α (probabilità associata ad H0 è minore di alpha) allora Si accetta H₀ ⇒ è vera l’ipotesi nulla
• |z| > |z_critico| ⇒ p < α ⇒ Si rifiuta H₀ ⇒ Si accetta H₁ ⇒ è vera l’ipotesi alternativa

Esempio

(Abbiamo μ e σ NOTI, n > 30, MEDIA)

Sappiamo che, considerando l’intera popolazione di pazienti di un professionista negli anni precedenti, il punteggio medio dei pazienti allo STAI era 24.7 ± 1.7 (μ ± σ). Scegliendo in modo casuale 36 (n) pazienti accorsi dal professionista nell’ultimo anno, si osserva che il punteggio medio da loro ottenuto è 25.4. Possiamo inferire che i pazienti dell’anno in corso siano più ansiosi rispetto a quelli degli anni precedenti?

Procediamo con i vari punti.

1 Scelta del test statistico (di significatività):

• 1 Campione con n = 36 pazienti (n > 30)
• Variabile metrica: punteggio STAI (media relativa al campione M = 25.4; i parametri della popolazione sono invece μ = 24.7, σ = 1.7)

La scelta del test statistico in funzione di questi elementi sarà quella di un test z, perchè faremo riferimento alla distribuzione campionaria della media, che ci permette di fare dei confronti con la distribuzione normale

2 Definizione dell’ipotesi:

L’ipotesi nulla H0 prevederà che μₘ sarà uguale a μ la media della popolazione, ovvero la media dell’anno corrente è uguale a quella degli anni precedenti.

H₀: μₘ = μ

L’ipotesi H1 prevederà che la media dei 25 pazienti sia maggiore alla media della popolazione.

H₁: μₘ > μ

H1 è monodirezionale destra, ovvero la media dell’anno corrente è maggiore di quella degli anni precedenti.

3 Fissare il livello di significatività α

Convenzionalmente alpha è uguale a .05 (probabilità del 5%)

α = .05

Poi si delinea la regione di rifiuto secondo α e H₁ monodirezionale destra trovando uno z_critico sulla Tavola.

Quindi ciò che bisogna fare è rintracciare lo scostamento dalla media (valore critico) che corrisponde alla probabilità alpha, sotto un’ipotesi monodirezionale.

Per ipotesi monodirezionali, se α = .05 ⇒ l’area tra 0 e z_critico è 0.45 (su una sola coda della distribuzione); l’area oltre lo z_critico deve essere minore di .05

Per ipotesi monodirezionali, se α = .05 ⇒ l’area tra 0 e z_critico è .4500; l’area oltre lo z_critico deve essere minore di .0500 ⇒ 1 – α = .4500

Da ciò si trova il valore di z sulla tavola corrispondente a questa area. z_critico = 1.65 per l’ipotesi monodirezionale destra (quadrante positivo degli assi cartesiani)

4 Associare una probabilità ad H₀

Ora andiamo a stimare la z della nostra distribuzione campionaria

z = 2.5 andremo a confrontarla con lo z_critico

5 Decisione su H₀ (⇒ H₁)

Essendo che

|2.5| > |1.65|

Abbiamo una probabilità asociata ad H0 molto bassa, inferiore a 0.5

p < .05

Quindi si rifiuta H₀ ⇒ Si accetta H₁ ⇒ si considera falsa l’ipotesi nulla e “vera” quella alternativa.

Posta l’uguaglianza tra μₘ = μ, la probabilità di ottenere una media come quella osservata è minore del 5% fissato con alpha. Ne concludo che

• La media dei pazienti dell’anno corrente si discosta significativamente dalla media generale (della popolazione)
• I 36 pazienti erano significativamente più ansiosi di quelli che si erano presentati in passato

Nel caso invece in cui abbiamo una popolazione con la devizione standard σ non nota, 1 campione n > 30 e abbiamo una varibile metrica (media), faremo riferimento alla distribuzione campionaria delle media e ala distribuzione di probabilità normale. L’unica differenza sta nel fatto che dovremo andare a individuare σ della popolazione da σ del campione.

Esempio

(σ NON NOTO, n > 30, MEDIA)

La media della popolazione in un questionario di autostima è uguale a 100. Un campione di 61 soggetti divorziati, selezionati a caso, sottoposto al test ottiene una media di 98 ± 7.5. Possiamo concludere che i divorziati hanno un’autostima più bassa rispetto alla popolazione generale?

1 Scelta del test statistico (di significatività):

Abbiamo 1 Campione con n = 61 pazienti (n > 30)
La variabile è metrica: punteggio test di autostima. Conosciamo la media M = 98 e la deviazione standard S = 7.5. Infine conosciamo la μ = 100 della popolazione.

Faremo riferimento alla DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE MEDIE e il confronto avverrà con la DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ NORMALE

2 Definizione dell’ipotesi:

• L’ipotesi nulla è H₀: μₘ = μ (la media della distribuzione campionaria è uguale a quella della popolazione)
• L’ipotesi H₁: μₘ < μ (monodirezionale sinistra, ovvero la media del campione è minore di quella della popolazione)

3 Fissare il livello di significatività α:

Fissiamo alpha più stringente α = .01.

Si delinea la regione di rifiuto secondo α e H₁ monodirezionale sinistra trovando uno z_critico sulla Tavola.

Per ipotesi monodirezionali, se α = .01 ⇒ l’area tra 0 e lo z_critico è .4900 (su una sola coda della distribuzione); l’area oltre lo z_critico deve essere minore di .0100

Quindi 1 – α = .4900. Si trova il valore di z sulla tavola corrispondente a questa area.

z_critico = -2.33 per l’ipotesi monodirezionale sinistra (quadrante negativo degli assi cartesiani)

4 Associare una probabilità ad H₀:

Calcolo della statitica z

5 Decisione su H₀ (⇒ H₁):

Quindi abbiamo

|2.06| < |2.33| ⇒ p > .01

Quindi si accetta H₀ ⇒ Non posso considerare falsa l’ipotesi nulla.

Posta l’uguaglianza tra μₘ = μ, la probabilità di ottenere una media come quella osservata è maggiore dell’1% fissato con α; ne concludo che:

• La media dei divorziati non si discosta significativamente dalla media nella popolazione.
• I divorziati mostrano un livello di autostima analogo a quello della popolazione.

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Vediamo ora il caso in cui abbiamo un campione di n < 30. Non conosciamo la deviazione standard σ della popolazione, e abbiamo una vaiabile metrica (possiamo usare la media).

Ciò che cambio è n < 30.

In questo caso possiamo sempre usare la distribuzione campionaria delle medie però dobbiamo confrontarla con distribuzione di probabilità della t (con n <30 le variabili non sono distriuite normalmente)

1 Scelta del test statistico (di significatività):

Si calcola t facendo riferimento alla dCM (distribuzione campionaria della media)

2 Definizione dell’ipotesi:

Faremo confronto con la popolazione di riferimento. Quindi abbiamo

• H₀: μₘ = μ (media distribuzione campionaria = media popolazione)
• H₁: μₘ ≠ μ (bidirezionale)
  oppure μₘ > μ oppure μₘ < μ (monodirezionale)

3 Fissare il livello di significatività α e calcolare i gradi di libertà

Per individuare la regione di riuto devo avere

• a (alpha)
• gdl = n -1 (gradi di libertà)
• H1 (mono / bi direzionale)

trovando così t_critico sulla tavola. La tavola di t riporta i valori di t in base a alpha, H1 e gdl. Consideriamo i seguenti valori e troviamo t

• α = .01
• H₁: bidirezionale
• gdl = n (11) – 1 = 10
• t_critico = 3.169

4 Associare una probabilità ad H₀

Si associa una probabilità ad H₀ calcolando t:

5 Decisione su H₀ (⇒ H₁)

Il confronto avviene tra t e t_critico

• |t| < |t_critico| ⇒ p > α ⇒ Si accetta H₀ ⇒ è verosimile l’ipotesi nulla
• |t| > |t_critico| ⇒ p < α ⇒ Si rifiuta H₀ ⇒ Si accetta H₁ ⇒ è plausibile l’ipotesi alternativa

Esempio

Vengono selezionati in modo casuale 26 pazienti narcisisti; li si intervista e si calcola il numero medio di “relazioni positive”, pari a 10 ± 3. Se la media delle “relazioni positive” fra pazienti con altre diagnosi è 12, si può affermare che il narcisismo conduce a maggiori problemi di relazione rispetto ad altre diagnosi?

1 Scelta del test statistico (di significatività):

Questi sono i dati a nostra disposizione

• 1 Campione: n = 26 Narcisisti (n < 30)
• Variabile metrica: Numero di “relazioni positive” (media M = 10, deviazione standard S = 3; il parametro di riferimento per il confronto è μ = 12)

Useremo una distribuzione campionaria delle media. Tuttavia essendo il campione inferiore a 30 useremo per il confronto la distribuzione di probabilità t

2 Definizione dell’ipotesi:

Abbiamo le seguenti ipotesi

• H₀: μₘ = μ (la media della distribuzione campionaria è uguale a quella della popolazione; cioè la media dei narcisisti è uguale a quella generale)
• H₁: μₘ < μ (monodirezionale sinistra, cioè la media di “relazioni positive” dei narcisisti è minore di quella generale)

3 Fissare il livello di significatività α:

Stabiliamo α = .05; H₁ è monodirezionale; I gradi di libertà sono
gdl = 26 – 1 = 25

Si delinea la regione di rifiuto secondo α, gdl e H₁ monodirezionale trovando un t_critico sulla Tavola.

Quale sarà il valore critico? t_critico = 1.71

4 Associare una probabilità ad H₀:

Calcolo della statistica t (σ^M = errore standard della distribuzione campionaria)

5 Decisione su H₀ (⇒ H₁):

Possiamo concludere che

|3.33| > |1.71| ⇒ p < .05

Si rifiuta H₀ ⇒ Si accetta H₁ ⇒ è plausibile l’ipotesi alternativa.

Posta l’uguaglianza tra μₘ = μ, la probabilità di ottenere una media come quella osservata è minore del 5% fissato con α; ne concludo che:

• La media dei narcisisti si discosta significativamente dalla media generale.
• Si può affermare che i narcisisti soffrano di problemi più gravi di tipo relazionale rispetto ad altre diagnosi.