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Standardizzazione delle misure
Un punteggio all’interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo.
Per esempio se si sa che un soggetto è alto 1.80m, questa informazione assume un significato ben diverso se il soggetto è un pigmeo o uno svedese. Nel primo caso sarebbe “molto alto” mentre nel secondo sarebbe “nella media”
La standardizzare consente di definire la posizione di un soggetto all’interno di una distribuzione di frequenza e, dunque, di:
- confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro due diverse distribuzioni
- confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni
Standardizzare significa riferire la misura ad una scala standard di cui sono noti i parametri (media e varianza)
Per ottenere la standardizzazione delle misure possiamo essere utilizzati gli indicatori di tendenza centrale e di dispersione (media e devianza standard, rispettivamente) della misura non standardizzata.
La scala standard o input z
Una delle scale più comunemente utilizzate è detta «standard» o «z». Questa ha
media = 0 e varianza = 1
Questa scala si ottiene trasformando i punteggi Xi di una distribuzione in punteggi zi tramite la formula:
s è la deviazione standard.
I punti z
I punti z consento di riferire una misura ad una scala standard con media uguale a zero e devianza standard uguale a 1.
Esempio (confronto tra diversi soggetti)
In un test di percezione visiva la media è 21.25 e deviazione standard 6.74. Trasformare in punti z i seguenti punteggi ottenuti da 6 soggetti dislessici.
utilizzando la formula vista in rpecedenza abbiamo che
otteniamo quindi la seguente scala
Faciamo alcune considerazioni sui punteggi ottenuti
- Il soggetto n°2 con 14 è una devianza standard sotto la media (21.25 – 6.74 = pressapoco 14).
- Il soggetto n°6 con 28 è una devianza standard sopra la media (21.25 + 6.74 = 28).
- Il soggetto n°5 con 25 è circa mezza devianza standard sopra la media, ad esempio, dista dalla media la metà rispetto al soggetto n°6.
- Il soggetto n°1 con 8 è due deviazioni standard sotto la media e, ad esempio, dista dalla media il doppio rispetto al soggetto n°2.
Esempio
Facciamo un altro esempio (stesso soggetto test diversi). Un soggetto ha ottenuto il punteggio di 30 in un test che misura l’ansia e 30 in un test che misura l’introversione; come è possibile sapere se in entrambe le situazioni il soggetto si è dimostrato più introverso o più ansioso? È necessario utilizzare una scala comune sulla quale “leggere” i punteggi dei due test.
Andiamo quindi a standardizare i punteggi ottenuti.
Sapendo che la media di punteggi al test di ansia è 36.6 e la devianza standard 5.97 il punteggio 30 del nostro soggetto potrà essere trasformato in:
Sapere che ha ottenuto un punteggio z di -1.05 significa che si trova al di sotto della media (segno negativo) di circa 1 devianza standard.
La media dei punteggi al test di introversione è 31.2 e la devianza standard 5.62; di conseguenza il punteggio di 30 diviene:
Quindi z ansia = -1.05 e z introversione = -0.21.
Su questa base si può affermare che il nostro soggetto è molto meno ansioso che introverso
Naturalmente può essere effettuata anche l’operazione inversa nel caso in cui si voglia conoscere il valore di X a partire dal valore di z corrispondente. Basta trasformare la formula nota e otteniamo l’equazione seguente
Esempio
Esempio: In un test attitudinale la media dei punteggi è 72 con s = 4. Per trovare il punteggio Xi di un partecipante di cui si sa che z = -0.25:
Altre scale standardizzate
Oltre alla scala in punti z, nei manuali dei test psicologici si incontrano altre scale che sono trasformazioni lineari della scala z (cioè, non modificano la relazione d’ordine esistente):
- Scala in punti T
- Scala stanine (standard nine)
- Scala sten (standard ten)
Scala in punti T
Si trata di una scala con Media (M) = 50 e deviazione standard (s) = 10
La formula è la seguente
varia tra 0 e 100 e non prevede valori negativi
Esempio
Esempio: Dai dati precedenti con media dei punteggi al test di ansia 36,6 e deviazione standard 5.97, il punteggio 30 equivaleva a z = -1.07
Fate attenzione al segno! Se la z è negativa il valore di T deve essere inferiore a 50
Scala stanine (standard nine)
La scala ha M = 5 e s = 2. Si ottiene applicando la formula:
Divide la distribuzione in 9 categorie.
Scala Sten (standard ten)
La scala ha M = 5.5 e s = 2. Si ottiene applicando la formula:
Divide la distribuzione in 10 categorie.
Rango percentile
Il rango percentile RP(X) di un punteggio X può essere definito come la percentuale di dati che assumono valore minore o uguale a X.
Se un soggetto ha un punteggio Xi, dire che RP(Xi) = 35 significa che nella distribuzione ordinata dei dati il punteggio Xi lascia alla sua sinistra il 35% dei dati della distribuzione.
Per il calcolo possiamo procedere nel modo seguente
- Si dispongono i dati in ordine crescente;
- Si individua la posizione (POS) del punteggio che interessa;
- Si applica la formula: (primo caso solo se minore 30 partecipanti, altrimenti si applicala seconda)
Esempio
Esempio: Supponiamo di aver ottenuto i seguenti punteggi (dati non raggruppati): 25, 34, 34, 58, 48, 38, 54. Vogliamo conoscere il RP del punteggio 38.
Prima ordino i dati: 25, 34, 34, 38, 48, 54, 58.
Abbiamo che 38 occupa la terza posizione.
Un caso un pò più complicato riguarda la stima del rango percentile di una distribuzione di frequenza con dati raggruppati in classi.
La prima cosa da fare è disporre le classi in ordine crescente. Poi si individua la posizione (POS) del punteggio Xi che interessa, con la formula
Esempio
Esempio consideriamo la seguente tabella
Ora si individua la posizione POS del punteggio 28 con la formula.
Calcoliamo il RP del punteggio 28
Esempio
Esercitazione: Nella classe di Giulio i voti all’ultimo compito di Matematica sono stati i seguenti:
Giulio ha preso 6 al compito di matematica. Come valuto la sua prova?
Si individua la posizione (POS) del voto 6:
Calcoliamo il RP del voto 6
Se le classi hanno ampiezza unitaria si può usare la formula abbreviata
Esercizio
Esercizio: Giulio ha preso 6 anche al compito di Italiano. I voti della classe sono i seguenti:
Come valuti la sua prova? Avendo preso sia a Matematica che a Italiano 6, posso dire che Giulio è ugualmente bravo nelle due materie rispetto alla sua classe?
Calcoliamo il RP del voto 6 con la formula abbreviata:
Il voto 6 in Italiano corrisponde al 20° percentile → Giulio lascia dietro di sé solo il 20% dei compagni. Sebbene il voto sia lo stesso, la sua prova è peggiore rispetto a quella di matematica relativamente alla classe.
Ergo Giulio non è particolarmente bravo in Italiano, mentre è abbastanza bravo in Matematica (RP = 70).
Esercizio
Esercizio: Marta ha preso 6 al compito di Matematica. I voti della sua classe sono i seguenti:
Come valuti la sua prova? Posso dire che Giulio e Marta sono ugualmente bravi in Matematica, tenendo conto dei risultati delle rispettive classi di appartenenza?
Calcoliamo il RP del voto 6 di Marta
Il voto 6 in matematica corrisponde al 50° percentile → Marta lascia dietro di sé il 50% dei compagni. Sebbene il voto sia lo stesso, relativamente alle classi di appartenenza, la sua prestazione è peggiore rispetto a quella di Giulio (RP = 70).
Percentile e rango percentile
Nota bene:
- Il percentile è un valore.
- Il rango percentile è una posizione.
Esempio:
- Il 20° percentile è 6 → Valore.
- Il rango percentile di 6 è 20 → Posizione.