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Introduzione
Uno degli scopi della statistica inferenziale è la verifica delle ipotesi. Questo consiste nel verificare, in termini probabilistici, se una certa affermazione relativa alla popolazione è vera basandosi sui dati campionari.
I pasaggi da seguire sono in ordine
- Scelta del test statistico per verificare la presenza di effetti o meno
- Definizione dell’ipotesi di ricerca
- Fissare il livello di significatività (delineare la regione di rifiuto H0)
- Associare una probabilità ad H₀ (ipotesi nulla) per deteminare la sua accettazione o rifiuto
- Prendere una decisione su H₀ (⇒ permettendoci così di accettare o rifiutare H₁)
1 La scelta del test statistico
Avviene in base a
- Natura della popolazione (che definisce la distribuzione che andremo a utilizzare per confrontare i nostri dati)
- Livello di misurazione variabile/i (nominale, ordinale, …)
- Caratteristiche del/i campione/i (in particolare faremo riferimento al numero e al tipo del campione). Potremo avere a che fare con 1 campione, o con più campioni, dipendenti e indipendenti tra loro.
Tutto ciò determinerà la scelta del test statistico
2 definzione delle ipotesi
Le ipotesi possono essere
- H₀: IPOTESI NULLA (da falsificare)
- H₁: IPOTESI ALTERNATIVA (da verificare). Questa può essere
- IPOTESI SEMPLICE:
- IPOTESI COMPOSITA: può essere monodirezionale e bidirezionale
3 Fissare il livello di significatività
Si tratta di fissare α, che è la probabilità prefissata di considerare H₀ falsa quando è vera (errore di 1° tipo). In questo modo si delinea la regione di rifiuto. La regione di rifiuto è definita sulla base di due elementi
- α prefissato
- Tipo di H₁ (mono/bidirezionale)
4 associare una probabilità ad H₀
Per fare ciò andremo a fare nell’ordine
- un test statistico sulle nostre variabili: ci fornirà degli indicatori statistici per ottenere la distribuzione campionaria
- la distribuzione campionaria ci fornirà dei valori che confronteremo con le ditribuzioni teoriche di probabilità che avremo come riferimento
- distribuzione teoriche di probabilità
5 Prendere una decisione su H₀
Il quindi punto, avendo dei valori di probabilità associati ad H₀, potremo compiere una decisione su H₀, e quindi H₁.
- Se la probabilità associata ad H₀ è maggiore di α (p > α) ⇒ Si accetta H₀
- Se la probabilità associata ad H₀ è minore di α (p < α) ⇒ Si rifiuta H₀. Si accetta H₁
Questo processo è valido per tutta la statistica inferenziale. Ciò che cambia, in base alla distribuzione teorica di probabilità a cui faremo riferimento, è il tipo di test statisco che faremo.
Verifica delle ipotesi: il caso di un campione
In questo esempio andiamo a verificare le ipotesi di un campione in cui abbiamo misurato una variabile dipendente di tipo dicotomico.
Le due varibili di riferimento (che confronteremo con la distribuzione teorica di probabilità) in questo caso sono la frequenza f e la probabilità p. In questo caso ci troviamo di fronte a una distribuzione di tipo binomiale, e quindi la nostra verifica sarà confrontare la nostra distribuzione campionaria con la distribuzione teroica di probabilità della binomiale.
Il test statistico che tulizzeremo è il test della binomiale, che ci permette di associare una probabilità all’evento k.
- pk : probabilità di k
- qn−k : probabilità che k non si verifichi
Secondo punto, per la definizione delle ipotesi avremo che
- H₀: p=x (nel’ipotesi nulla la probabilità di k sarà uguale a un certo valore x)
- H₁: (bidirezionale) oppure
- p>x oppure p<x (monodirezionale)
Terzo punto, fissare il livello di significatività α, e quindi andare a delineare la regione di rifiuto all’interno della nostra distribuzione secondo α, e secondo H₁ (a seconda se è monodirezionale o bidirezionale).
Il quarto punto è associare una probabilità a H₀. Questo viene fatto con il test della binomiale. Si calcola la probabilità associata all’ipotesi nulla sommando tutte le p, per k che tende a n.
ll quinto punto è prendere decisione su H0 (e quindi H1). La probabilità che si ottiene deve essere messa in relazione con la regione di rifiuto definita in base ad α
- p > α ⇒ Si accetta H₀ ⇒ è vera l’ipotesi nulla
- p < α ⇒ Si rifiuta H₀ ⇒ Si accetta H₁ ⇒ è vera l’ipotesi alternativa
Esempio A
Si ipotizza che i depressi (popolazione) preferiscano una terapia dinamica piuttosto che una terapia cognitiva. A 10 pazienti (campione) viene chiesto di scegliere fra due terapeuti dei due diversi orientamenti. Si osserva che 7 prediligono quello dinamico, e 3 quello cognitivo.
L’ipotesi è confermata?
(1° Punto) Per prima cosa procediamo alla scelta del test statistico. Abbiamo un campione di 10 depressi.
La variabile è dicotomica (scelta fra dinamica o cognitiva). La frequenza è
- 7 per la dinamica
- 3 per la cognitiva
Quindi ho una BINOMIALE: con n = 10, e k = 7 → 10;
- p = 1/2 probabilità di scelta per la Dinamica
- q=1/2 probabilità di scelta per la Cognitiva
(2° Punto) Definizione dell’ipotesi
H₀, ovvero la probabilità di scegliere la dinamica è definita da p(D)=.50 (50%) (ipotesi che la scelta tra le due terapie sia casuale)
Invece H₁: p(D)>.50 (50%) (ipotesi che la scelta non sia casuale, ma si prediliga l’orientamento dinamico)
Ci troviamo quindi di fronte a una ipotesi monodirezionale
(3° punto) Fissare il livello significativo α
Per affermare che l’ipotesi nulla è falsa dobbiamo ottenere una probabilità associata ad H0 che sia inferiore ad α = .05 (e che quindi cade nella regione di rifiuto)
La regione di rifiuto è costituita dalla coda destra della distribuzione essendo H1 monodirezionale.
(4° punto) Associare una probabilità ad H₀
La probabilità di H₀ è data dalla somma della probabilità per gli eventi maggiore o uguale a 7 (confronto con la regione di riufto α = .05)
p(7) + p(8) + p(9) + p(10)
La domanda che ci dobbiamo porre è quindi “La probabilità associata ad H₀, ovvero a k >= 7, è maggiore o no al livello di alpha = 0.05?”
la probabilità di 7 (p(7)) è circa intorno al 12%. Essendo p = .1172 maggiore di .05 è inutile proseguire il calcolo per k = 8 oppure 9 o 10
(5° punto) Decisione su H₀ (e quindi H1)
Abbiamo che
p>α (.1172 > .05) ⇒ Si accetta H₀ e quindi rifiutare H1
Data l’ipotesi che la scelta sia casuale (.50) la probabilità di avere un risultato come quello ottenuto (7 pazienti su 10 scelgono la terapia dinamica) è abbastanza elevata (più del 12%) ⇒ Il risultato ottenuto non consente di scartare l’ipotesi che la scelta tra le due terapie sia casuale. (La scelta tra i due orientamente è probabilmente dovuta al caso e non a una preferenza).
In altre parole, i depressi non hanno preferenze verso una particolare terapia.
Esempio B
Dopo aver condotto un esperimento di condizionamento classico mirato a orientare le galline verso il colore blu, a 10 galline vengono mostrate due ciotole, una rossa e una blu, con il mangime. Si osserva che 9 galline su 10 si dirigono verso la ciotola blu. Il condizionamento ha avuto effetto?
(punto 1) Scelta del test statistico (di significatività):
- 1 Campione: 10 galline
- Variabile dicotomica: Ciotola può essere Blu o Rosso (frequenze f assoiate al blu sono B=9; al rosso sono R=1)
Il test è quello della BINOMIALE: n = 10; k = 9 → 10;
- p=1/2 probabilità di Blu
- q=1/2 probabilità di Rosso
(punto 2) Definizione dell’ipotesi
- Ipotesi nulla è H₀. La sua probabilità è p(B)=.50 (ipotesi che la scelta tra le due ciotole sia casuale)
- Mentre H₁ è dato da p(B)>.50 (ipotesi che la scelta non sia casuale, ma che le galline prediligano la ciotola Blu)
(punto 3) Fissare il livello di significatività α:
La regione di rifiuto è costituita dalla coda destra della distribuzione assumendo H₁ monodirezionale.
(punto 4) Associare una probabilità ad H₀ (attraverso il test binomiale):
La p associata a H₀ è data da: p(9) + p(10) e confronto con la regione di rifiuto (α = .05)
La probabilità associata a k ≥ 9 è maggiore o inferiore al livello di alpha = .05 ?
- p(9) = .01
- p(10)=.001
La p associata ad H₀ è .011, inferiore a α
(punto 5) Decisione su H₀ (⇒ H₁)
Abbiamo che
p < α (.011 < .05) ⇒ Si rifiuta H₀ ⇒ Si accetta H₁
Data l’ipotesi (nulla) che la scelta sia casuale (.50), la probabilità di avere un risultato come quello ottenuto (9 galline su 10 scelgono la ciotola blu) è molto bassa (1%) ⇒ Il risultato ottenuto consente di scartare l’ipotesi che la scelta tra le due ciotole sia casuale.
In altre parole, il condizionamento ha prodotto una preferenza per il colore blu.